Ebenengleichungen einfach umformen mit Beispielen
Parameterform und Normalenform
Ebenen werden in der Mathematik durch Ebenengleichungen beschrieben. Es gibt verschiedene Formen von Ebenengleichungen, darunter die Parameterform und die Normalenform.
Parameterform
In der Parameterform wird eine Ebene durch zwei Vektoren und einen Punkt beschrieben. Der erste Vektor ist ein Richtungsvektor der Ebene, der zweite Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene und der Punkt ist ein beliebiger Punkt, der auf der Ebene liegt.
Beispiel:
Eine Ebene kann durch die folgende Parameterform beschrieben werden:
``` (x, y, z) = (1, 0, 2) + s(2, 1, 3) + t(-1, 1, 1) ```Dabei ist (1, 0, 2) ein Punkt auf der Ebene, (2, 1, 3) ist ein Richtungsvektor der Ebene und (-1, 1, 1) ist ein Normalenvektor der Ebene.
Normalenform
In der Normalenform wird eine Ebene durch einen Normalenvektor und einen Abstand vom Ursprung beschrieben. Der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht zur Ebene steht, und der Abstand vom Ursprung ist der Abstand vom Ursprung zur Ebene.
Beispiel:
Eine Ebene kann durch die folgende Normalenform beschrieben werden:
``` x - 2y + 3z = 5 ```Dabei ist (1, -2, 3) ein Normalenvektor der Ebene und 5 ist der Abstand vom Ursprung zur Ebene.
Umformen von Ebenengleichungen
Es ist manchmal erforderlich, eine Ebenengleichung von einer Form in eine andere umzuformen. Dies kann mit folgenden Methoden erfolgen:
- Parameterform in Normalenform: Setzen Sie die Parameter s und t auf 0 und lösen Sie nach x, y und z.
- Normalenform in Parameterform: Lösen Sie nach x, y oder z auf und setzen Sie die beiden anderen Variablen gleich s oder t.
Beispiel:
Um die folgende Ebenengleichung in Normalenform in Parameterform umzuformen:
``` x - 2y + 3z = 5 ```lösen Sie nach x auf und setzen Sie y = 0 und z = 0:
``` x = 5 + 2y - 3z ```Dann ist die Parameterform der Ebenengleichung:
``` (x, y, z) = (5, 0, 0) + 2(1, 0, 0) - 3(0, 1, 0) ```
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